Tổng hợp kiến thức về cấp số nhân

Đối với các bạn học sinh có lẽ không còn xa lạ gì với cấp số nhân, đây là phép toán cơ bản được sử dụng khá nhiều ở chương trình trung học phổ thông. Bài viết này VOH sẽ giúp bạn củng cố lại các lý thuyết và một số bài tập liên quan thường gặp về cấp số nhân.

Ôn tập cấp số nhân (Nguồn: Internet)

Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn). Trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q (công bội) không đổi.

Có nghĩa là:

$\left(u_n\right)$là cấp số nhân $\iff \forall n\ge 2, u_{n-1}.q$, với $\mathrm{n<div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-01"></div>}\in N*$

Ví dụ: Dãy số $\left(u_n\right)$, với $u_n=2^n$là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=2$ và công bội q=2.

Tính chất

Nếu $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy

Tức là: ${u^u}_k=u_{k-1}.u_{k+1}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$với công bội q > 0. Biết $u_1=1, u_3=3. Tìm u_4$

Giải

Theo định lý 1, ta có:

${u^2}_2=u_1.u_3$(1)

${u^2}_3=u_2.u_4$(2)

Từ (1) ta có $u_2$> 0 vì $u_1=1$>0, q > 0

Suy ra $u_2=\sqrt{u_1.u_3}$. Từ đây ta được $u_4=\frac{{u^2}_3}{\sqrt{u_1.u_3}}=\frac{3^2}{\sqrt{1.3}}=3\sqrt{3}$

Công bội q

q là công bội của cấp số nhân. Công bội $q=\frac{u_{n+<div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-02"></div>1}}{u_n}$ 

Ví dụ: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right) có u_1=2, u_2=4$. Tính công bội q

Áp dụng công thức ta có:

$q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{2}=2$

Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu$\left(u_n\right)$và công bội q thì số hạng tổng quát $\left(u_n\right)$sẽ được tính bởi công thức:

$u_n=u_1.q^{n-1}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$với $u_1=3, q=-\frac{1}{2}. Tìm u_7$

Giải: $u_7=u_1.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{7-1}=\frac{3}{64}$

Tổng n số hạng đầu tiên

Giả sử có cấp số nhân $\left(u_n\right)$với công bội q . Với mỗi số nguyên dương n gọi $S_n$là tổng n số hạng đầu tiên của nó.

$S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q} \left(q\ne 1\right)$

Nếu q =1 thì cấp số nhân là  $S_n=n.u_1$

Cấp số nhân lùi vô hạn

Với $\left(u_{\mathrm{n<div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-03"></div>}}\right)$có công bội q $\left|q\right|<1$được gọi cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16},...$là một cấp số nhân lùi vô hạn $q=\frac{1}{2}$

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$có công bội q . Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=\frac{u_1}{1-q} với \left|q\right|<1$.

Một số bài tập ví dụ

Bài tập cấp số nhân (Nguồn: Internet)

Ví dụ 1: Cho 3 số a,b,c lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng $\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)={\left(ab+bc\right)}^2$

Ta có: a,b,c lập thành một cấp số nhân ta được $ac=b^2$

Khi: $\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)=a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^4+b^2{c}^2=a^2{b}^2+ac{b}^2+b^2{c}^2=a^2{b}^2+2a{b}^{2}c+b^2{c}^2={\left(ab+bc\right)}^2$

Vậy  $\left(a^2+<div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-04"></div>b^2\right)\left(b^2+c^2\right)={\left(ab+bc\right)}^2$

Ví dụ 2: Tính tổng cấp số nhân

$S=2+6+18+...+13122$

Xét cấp số nhân $\left(u_n\right)$có $u_1=2$ và công bội q = 3.

Ta có: 

$$\begin{gathered} 13122=u_n=u_n{q}^{n-1}=2.3^{n-1}\iff n=9 \\ \Rightarrow S=S_9=u_1\frac{q_9-1}{q-1}=2\frac{3^9-1}{3-1}=19682 \end{gathered}$$

Ví dụ 3: Tìm x để ba số x-2, x-4, x+2 lập thành một cấp số nhân.

Để 3 số $x-2, x-4, x+2$ lập thành một cấp số nhân, điều kiện là ${\left(x-4\right)}^2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\iff 8x=20\iff x=\frac{5}{2}$

Vậy $x=\frac{5}{2}$ là số cần tìm để ba số $x-2, x-4, x+2$ trở thành một cấp số nhân.

Trên đây là những kiến thức về cấp số nhân và các bài tập ví dụ liên quan. Hy vọng qua bài viết này đã giúp bạn ôn lại được các kiến thức cơ bản về cấp số nhân để có thể áp dụng vào trong quá trình học tập. Chúc các bạn thành công!