Tìm hiểu về định nghĩa và những tính chất của tam giác cân

Có thể nói kiến thức về tam giác cân và tam giác vuông cân là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán hình ở trung học cơ sở. Cùng ôn lại định nghĩa và những tính chất của nó qua bài viết này nhé.

Tam giác cân

Tam giác cân (Nguồn: Internet)

Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có 2 cạnh bên bằng nhau. Đỉnh của tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại là góc đáy.

Tính chất

• Tính chất 1: Trong tam giác cân hai góc đáy bằng nhau

Ví dụ: Cho tam giác OAB cân tại O => góc OAB = góc OBA

• Tính chất 2: Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.

Ví dụ: Cho tam giác BOD có góc BOD = góc BDO => tam giác BOD cân tại B

Tam giác vuông cân

Định nghĩa

Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông và vừa là tam giác cân. Trong tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau và mỗi góc nhọn bằng 45 độ.

Hình minh họa (Nguồn: Internet)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có cạnh AB vuông góc với AC và AB=AC

Suy ra: tam giác ABC vuông cân tại A.

Tính chất

• Tính chất 1: Tam giác vuông cân có 2 góc đáy bằng nhau và bằng 45 độ
• Tính chất 2: Các đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác kẻ từ đỉnh có góc vuông của tam giác vuông cân trùng nhau và bằng một nửa cạnh huyền

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm đoạn BC.

Suy ra AD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác và đường trung tuyến của BC.

=>AD = BD = DC = ½ BC

Các dạng toán thường gặp

Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC bằng 40 độ, AH là đường cao. Điểm E, F lần lượt theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH và AC sao cho góc EBA = góc FBC = 30 độ. Yêu cầu chứng minh AE = AF.

Bài giải:

Trên nửa mặt phẳng bờ AB (chứa điểm C) lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều.

Xét tam giác cân ABC ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{\left({180}^o-{40}^o\right)}{2}={70}^o \\ \Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{ABC}-\widehat{FBC}={70}^o-{30}^o={40}^o \\ Vậy \widehat{ABF}=\widehat{BAF}\Rightarrow ∆ABF cân tại F\Rightarrow FA=FB \end{gathered}$$

Dựng điểm K sao cho KA = KB. Vậy KF là đường trung trực của AB

=> KF là đường phân giác của $\widehat{AKB }\left(vì ∆ABK đều\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{FKB}={30}^o\Rightarrow \widehat{FKB}=\widehat{EBA} \left(1\right) \left(Theo giả thiết\right) \\ ∆ABC cân tại A, có \widehat{BAC}={40}^o, AH là đường cao \\ Suy ra \widehat{BAE}=\frac{{40}^o}{2}={20}^o \\ Mặt khác: \widehat{KAF}=\widehat{KAB} - \widehat{FAB}={60}^o-{40}^o={20}^o \\ Vậy <div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-04"></div>\widehat{KAF}=\widehat{BAE} \left(2\right) \end{gathered}$$

Chú ý: tam giác ABK đều nên AB = AK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $∆KAF=∆BAE\Rightarrow AF=AE \left(đpcm\right)$

Bài tập 2: Cho tam giác OBC cân tại O, kẻ OH vuông góc với BC (H thuộc BC). Yêu cầu:

1. Chứng minh HB = HC
2. OH là tia phân giác của góc BOC

Hình minh họa (Nguồn: CIE Team)

Bài giải:

1. Xét 2 tam giác OBH và OCH, ta có:

OH chung,

$\hat{B}=\hat{C}$ và OB =OC (vì tam giác OBC cân)

=> 2 tam giác OBH và OCH bằng nhau theo trường hợp cạnh góc cạnh

=> HB = HC (hai cặp cạnh tương ứng)

2. Ta có: $∆OBH=∆OCH$

=> $\widehat{BOH}=\widehat{COH}$(hai góc tương ứng).

Bài tập 3: Trong các tam giác ở hình bên dưới (hình 116, hình 117, hình 118). Tam giác nào là tam giác cân và tam giác nào là tam giác đều? Giải thích?

Hình minh họa (Nguồn: Internet)

Bài giải:

Xét hình 116:

Ta có tam giác ABD cân vì AB = AD

=> BC = DE nên AB + BC = AD + DE hay AC = AE

Suy ra: tam giác ACE cân tại A

Xét hình 117:

Ta có : $\hat{G}={180}^o\left(\hat{H}+\hat{I}\right)={180}^o-\left({70}^o+{40}^o\right)={70}^o$

Suy ra tam giác GIH cân tại I

Xét hình 118:

Tam giác OMN đều vì có 3 cạnh bằng nhau (OM = MN = MO)

Tam giác OKM cân tại M vì có MO = MK

Tam giác PNO cân tại N vì có NO = NP

$$\begin{gathered} Ta có: \widehat{OKM}+\widehat{KOM}=\widehat{OMN}={60}^o \\ mà \widehat{OKM}=\widehat{KOM} nên \widehat{OKM}={30}^o \\ Tương tự: \widehat{OPM}={30}^o \\ Suy ra: ∆KOP cân tại O vì \mathrm{c<div\; class="adv-components"\; id="MiddleContent-06"></div>}ó \hat{K}=\hat{P}={30}^o \end{gathered}$$

Bên trên là những kiến thức tổng quát về tam giác cân và tam giác vuông cân. Hy vọng bài viết có thể giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và ôn luyện kiến thức.