Định nghĩa, tính chất và một số dạng toán của cấp số cộng

Cấp số cộng là gì? nó có những tính chất và các dạng toán nào? Bài viết này sẽ giúp các bạn tìm hiểu tổng quát về cấp số cộng.

Trong tất cả các phép toán mà bạn được học ở trung học phổ thông thì có lẽ cấp số cộng là một trong những phép toán được sử dụng nhiều nhất. Bài viết này chúng ta sẽ đi sâu để tìm hiểu về khái niệm, tính chất và một số bài tập liên quan thường gặp.

voh.com.vn-cap-so-cong-1

Cấp số cộng (Nguồn: Internet)

Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số hữu hạn hay vô hạn, trong đó kể từ số hạng thứ 2 thì mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước và một số d (công sai) không đổi.

Có nghĩa là $(u_{n})$ là cấp số cộng

$\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n - 1} + d, v ớ i n \in N^{*}$

Tính chất

Nếu $(u_{n})$ là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kế bên nó trong dãy số, tức là:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$

Công sai

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Công sai $d = u_{n + 1} - u_{n}$

Ví dụ: Ta có dãy số -3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 là một cấp số cộng với công sai d = 4

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng khởi đầu là phần tử $a_{1}$ và công sai là d, thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức sau:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Tổng n số hạng đầu tiên

Giả sử $(u_{n})$ là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n, gọi $S_{n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của nó $S_{n} = (u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n})$ khi đó ta có công thức:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} = \frac{n (u_{1} + u_{n})}{2} = \frac{n [2 u_{1} + (n - 1) d]}{2}$

Ví dụ: Công ty ABC đang thực hiện việc trả lương cho các nhân viên bán hàng theo phương thức: Mức lương của quý làm việc đầu tiên là 4,5 triệu đồng/quý và kể từ quý thứ 2 sẽ tăng lên 0,3 triệu đồng cho mỗi quý. Yêu cầu hãy tính tổng tiền lương 1 nhân viên nhận được sau 3 năm làm việc tại công ty.

Bài giải:

Với mỗi số nguyên dương n, được kí hiệu $(u_{n})$ (triệu đồng) là mức lương của nhân viên làm việc thứ n cho công ty.

Theo đề bài ta có:

$u_{1} = 4, 5; u_{n + 1} = u_{n} + 0, 3 v ớ i \forall n \geq 1$

Từ đó ta có dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng với công sai d = 0,3

Do mỗi năm có 4 quý nên 3 năm sẽ có 12 quý. Như vậy theo yêu cầu của đề bài ta cần phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_{n})$ .

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta được: $u_{12} = 4, 5 + (12 - 1) . 0, 3 = 7, 8$

Áp dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên ta được:

$S_{12} = \frac{12 . (4, 5 + 7, 8)}{2} = 73, 8 (t r i ệ u đ ồ n g)$

Vậy tổng số tiền lương nhân viên nhận được sau 3 năm làm tại công ty là 73,8 triệu đồng.

Một số bài toán thông dụng

voh.com.vn-cap-so-cong-2

Bài tập mẫu (Nguồn: Internet)

Bài tập 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của dãy số?

$u_{n} = 5 - 3 n$
$u_{n} = \frac{n}{2} - 1$
$u_{n} = 3 n$

Bài giải:

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 5 - 3 (n + 1) - (5 - 3 n) = - 3; \forall n \in N^{*}$

Vậy $(u_{n})$ là cấp số cộng có $u_{1} = 2$ , công sai d = -3

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 1}{2} - 1 - (\frac{n}{2} - 1) = \frac{1}{2}; \forall n \in N^{*}$

Vậy $(u_{n})$ là cấp số cộng có $u_{1} = - \frac{1}{2}$ , công sai $d = \frac{1}{2}$

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 3^{n + 1} - 3 = 2 . 3^{n} \Rightarrow (u_{n})$ không phải là cấp số cộng

Bài tập 2: Cho 2 cấp số cộng

$u_{n} = u_{1}; u_{2}; . . .; u_{n} c ó c ô n g s a i d_{1} v_{n} = v_{1}; v_{2}; . . .; v_{n} c ó c ô n g s a i d_{2}$

Gọi tổng của n số hạng đầu của mỗi cấp số theo thứ tự là:

$S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} = 7 n + 1 v à T_{n} = v_{1} + v_{2} + . . + v_{n} = 4 n + 27 Y ê u c ầ u : T ì m t ỉ s ố \frac{u_{11}}{v_{11}}$

Bài giải:

$T a c ó : S_{n} = 2 u_{1} + (n - 1) d_{1} v à T_{n} = 2 v_{1} + (n - 1) d_{2} N ê n \frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 u_{1} + (n - 1) d_{1}}{2 v_{1} + (n - 1) d_{2}} (1) \frac{u_{11}}{v_{11}} = \frac{u_{1} + 10 d_{1}}{v_{1} + 10 d_{2}} = \frac{2 u_{1} + 20 d_{1}}{2 v_{1} + 20 d_{2}} (2)$

So sánh (1) và (2) => n = 21 nên $\frac{u_{11}}{v_{11}} = \frac{148}{111} = \frac{4}{3}$

Bên trên là những kiến thức thức tổng quát và một số bài tập thường gặp của cấp số cộng. Hy vọng bài viết có thể giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập.

Con quay hồi chuyển (Gyroscope) và ứng dụng trong đời sống : Con quay hồi chuyển là gì? Đặc điểm, nguyên lý hoạt động và ứng dụng của nó trong các thiết bị di động hiện nay.

Cách tính thể tích hình nón, hình chóp, hình chóp cụt : Dù bạn còn là học sinh hoặc ra trường rồi, thì việc nắm rõ cách tính thể tích hình nón sẽ là lợi thế rất lớn. Cùng tổng hợp lại các công thức quan trọng nhé!

Công thức tính tích phân từng phần và ví dụ cụ thể

Tất tần tật những công thức lượng giác cơ bản và mở rộng

Tìm hiểu về hệ thức lượng trong tam giác

học tập